Калькулятор площади трапеции
Как рассчитывается площадь трапеции
Существуют различные математические методы, по которым можно произвести расчеты площади трапеции. Метод вычисления зависит от пропорций и разновидности геометрической фигуры. Имея входные значения, и подставляя их в готовые формулы, можно легко посчитать площадь трапеции. Однако, запоминать алгоритмы расчетов не обязательно – можно использовать калькулятор площади трапеции. Который быстро и безошибочно найдет искомый результат. Приведенные формулы из школьной программы полезно знать, если под рукой не окажется компьютера или смартфона. Рассмотрим различные варианты подсчетов.
По длине оснований и высоты
Формула площади трапеции: S= 1/2×(a+b)×h, где S – площадь, a и b – основания, h – высота.
Основаниями трапеции являются прямые линии, идущие параллельно друг другу. Высота – это отрезок, идущий от верхнего угла до нижнего основания. Если мы имеем длины каждого из этих элементов, мы можем посчитать сумму оснований, умножить на высоту и поделить пополам.
По размеру средней линии и высоты
S=m×h, где где S – площадь m – средняя линия, h – высота
Отрезок, идущий параллельно основаниям и делящий боковые стороны пополам, называется средней линией трапеции. Если у нас есть сходные параметры, достаточно перемножить их между собой. Применяем формулу: S=, где S – площадь m – средняя линия, h – высота.
Через две диагонали
S=1/2×d₁×d₂×sin(α), где S – площадь, x, y – диагонали, α – любой угол между диагоналями.
Если у нас имеются значения двух пересекающихся отрезков и угла образуемого ими, найти площадь трапеции можно по формуле: S=1/2×d₁×d₂×sin(α). Здесь S – площадь, x, y – диагонали, α – любой угол, образующийся при пересечении диагональных отрезков. Синус берется из табличных значений.
Если известны все стороны
S=(a+b)/2⋅√(c²−( ((b-a)² + c² -d²) / 2(b-a) ) ²
В случае, если нам известны значения всех оснований и боковых сторон, то применяем формулу площади трапеции . Здесь a,b – основания, c,d – боковые стороны.
По основаниям и углам, прилегающим к одному из оснований
S = 1/2 * (b²-a²) * (sin(α) * sin(β)) / (sin (α+β))
Когда мы знаем величину оснований a и b, а также известны углы α и β, которые прилегают к одному из оснований, мы можем использовать данную формулу.
Вышеперечисленные формулы площади относятся ко всем видам трапеций. Для решения задач, связанных с равнобедренными трапециями, применяются другие алгоритмы:
Все стороны равнобедренной трапеции ABC известны
S = (a+b)/2 * √c² – ((b-a)² /4)
Здесь используется упрощенная формула , где S – площадь, a и b – основания, с – одна из боковых сторон.
Даны значения основания, боковых сторон и прилегающих углов к одному из оснований
При таких вводных данных, мы можем использовать две формулы для расчета площади трапеции. Обозначения: S – площадь, a и b – основания, с – боковая сторона, α – угол.
S = с * sin(α) * (a+c*cos(α))
S = с * sin(α) * (b-c*cos(α))
Известны только основания и угол при одном из оснований
S = (b²-a²)*tg(α)/4
Зная эти параметры, можно применять простую формулу. Сначала возводим в квадрат значения каждого основания и высчитываем разницу между ними. Полученный результат умножаем на тангенс угла. Полученное произведение необходимо разделить на 2.
По двум диагоналям и углу, образованному между ними
S = 1/2 * d² *sin(α), где S– площадь, d – диагональ, α – угол.
Как и в методе 3 мы используем диагональные линии, но формула площади равнобедренной трапеции немного отличается: S = 1/2 * d² *sin(α), где S – площадь, d – диагональ, α – угол.
Значения боковых сторон, средней линии и углов, прилегающих к основанию
S = m * c * sin(α) , где S– площадь, с – боковая сторона, m – средняя линия, α – угол
Исходные параметры подставляются в формулу: S = m * c * sin(α) , где S – площадь, с – боковая сторона, m – средняя линия, α – угол.
Использования радиуса вписанной окружности
Если мы знаем радиус (r) вписанной окружности, можно использовать две формулы. В первой мы дополнительно используем размеры оснований (a, b), во втором – прилежащий к основанию угол α:
S = 4*r² / sin(α)
S = r*(a+b) = √(a*b)/2 * (a+b)
Применение значений оснований и угла
S = a*b/sin(α)
В методе 5 мы уже рассматривали аналогичные условия, но для равнобедренной трапеции можно использовать упрощенную формулу площади трапеции: , где S – площадь, a и b – основания, α – угол.
Известны основания и боковые стороны
S = c * √a*b=(a+b)/2 * √a*b
Если изначально имеются длины оснований (a и b) и боковой стороны (с), в равнобедренной трапеции применяем формулу:
Даны значения средней линии и оснований
S = m*√a*b = (a+b)/2 * √a*b
Имея входные параметры, применяем формулу
Свойства трапеции
Мы рассмотрели 14 математических способов, как найти площадь трапеции. Мы знаем, что геометрическая фигура всегда имеет два параллельных основания и две боковые стороны.
Если сложить все внутренние углы, то, как и любой четырехугольник, в сумме они дадут 3600. Площадь может измеряться в квадратных миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.
При разделении фигуры диагональными отрезками, получаются треугольники одинаковой площади. Если диагонали пересекаются под углом 90 градусов, можно быстро узнать высоту. Для этого достаточно сложить значения оснований и разделить пополам.
Для трапеции с разными боковыми сторонами можно применять методы 1-5.В равнобедренной трапеции, в зависимости от имеющихся данных можно применять способы с 6-14. Запоминать всю информацию не обязательно. Сейчас можно вычислить площадь трапеции через калькулятор онлайн.
Примеры вычисления площади треугольника
Для наглядности, рассмотрим применение формул на нескольких практических примерах:
Задача 1
Дано: трапеция с основаниями a=4см, b=8см и высотой h=5см. Как найти площадь трапеции? Берем формулу S= 1/2×(a+b)×h из первого примера и подставляем значения S= Ответ: 30 см2.
Задача 2
Дано: неравнобедренная трапеция с проведенными диагоналями x=12 см, y=17 см. Угол их пересечения равен 300. Необходимо рассчитать площадь. Для этого воспользуемся соответствующей формулой: S=1/2×d₁×d₂×sin(α). Из табличных значений мы знаем, что синус 300=1/2. Подставляем значения: Ответ: 51 см2.
Задача 3
Условия просты. Известна величина средней линии m=15 см и высота h=21 см. Перемножаем эти значения по формуле S=m×h . Ответ: площадь трапеции равна 315 см2.
Задача 4
Дано: верхнее основание трапеции a=5 см, нижнее b=15 см. Имеется вписанная окружность с радиусом r=2,5 см. Требуется вычислить площадь трапеции. Для этого применяем формулу S = r*(a+b)= 50 см2.
Задача 5
Имеется равнобедренная трапеция. Известны основания трапеции a=10 см, b=22 см. Угол, прилежащий к нижнему основанию равен 450. Необходимо вычислить площадь. Для этого подставляем значения в геометрическую формулу, приведенную в 8 методе: S = (b²-a²)*tg(α)/4=192 см2. Тангенс 450=1 (берется из табличных данных).
Заключение
Из примеров выше мы узнали, как найти площадь трапеции, используя знания из средней школы. Здесь перечислены не все методы вычисления. Каждую трапецию можно поделить на треугольники, квадраты, параллелограммы. Или вписать окружность. Здесь все зависит от поставленной задачи. Имея входные данные можно производить сложные расчеты с применением формул из высшей математики.
Разумеется, если вычисления требуются для работы, вы не станете тратить время на использование всех этих методов. Например, в сфере строительства, где инженерные расчеты проводятся на каждом этапе работ, и требуется получение абсолютно точного результата, на применение формул не хватит времени. К тому же, значительную роль играет человеческий фактор – можно легко допустить ошибки.
Самым рациональным решением будет воспользоваться готовыми бесплатными сервисами и узнать площадь трапеции через калькулятор онлайн. Такие системы просты в использовании и выдают точный результат.