Калькулятор площади треугольника

Как рассчитывается площадь треугольника

Существует несколько математических методов вычисления площади треугольника, известных из школьного курса геометрии. Способ расчета зависит от вида геометрической фигуры. Достаточно знать параметры сторон. Подставляя исходные значения в формулы, можно легко посчитать площадь треугольника. Разумеется, проще воспользоваться калькулятором площади треугольника, но для общего кругозора, будет полезно знать общие принципы расчетов. Рассмотрим различные варианты вычислений.

По значениям катетов

S=(a × b) / 2, где S – площадь, a и b – катеты

Данный способ применим только к прямоугольному треугольнику. Он имеет прямой угол равный 90 градусам, образуемый двумя сторонами — «катетами». Линия, соединяющая эти два отрезка, называется гипотенузой. Но в данном случае нам необходимо знать только величину катетов.

Нам потребуется достроить треугольную фигуру до прямоугольника, затем перемножить между собой значения катетов и поделить полученное произведение пополам. Это и будет искомая величина. Получаем простую формулу площади треугольника: S=(a x b) / 2, где S – площадь, a и b – катеты.

По значениям гипотенузы и одного из катетов

Задача усложняется, если необходимо произвести вычисления по предыдущей формуле, не зная величины второго катета. Чтобы ее высчитать, достаточно применить теорему Пифагора: квадрат неизвестного катета равен разнице квадратов гипотенузы и второго катета. a²=c²-b², где a и b – катеты, c – гипотенуза. Остается вычислить квадратный корень из полученного значения и применить формулу площади треугольника, показанную в первом примере.

По величине и основанию

S=(b × h) / 2, где S – площадь, h ­– высота, b – основание

Но что делать, если фигура не имеет прямого угла? Как найти площадь такого треугольника? В этом случае мы будем использовать высоту и основание. Высотой называется отрезок, идущий от вершины треугольника к противоположной стороне — основанию. В итоге, получаются два прямоугольных треугольника, имеющих общий катет.

Как и в предыдущем примере, мысленно достраиваем каждую фигуру до прямоугольника. Затем длину основания умножаем на высоту и делим на 2. S=(b x h) / 2, где S – площадь, h ­– высота, b – основание.

По двум сторонам и углу между ними

S = 1/2 a×b × sinc, где a и b – известные нам стороны, c – угол

Если известны величины смежных отрезков и угол, образуемый ими, то формула площади треугольника будет следующая: 1/2ab x sinc, где a и b – известные нам стороны, c – угол. Умножаем значения сторон, делим пополам и умножаем на синус угла, который берется из таблицы.

Если известны все стороны

S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), где a, b, c – стороны, p – полупериметр.​

На первый взгляд – это довольно простой случай, но у многих он вызывает сложности. Как, имея значения всех сторон, найти площадь треугольника? Проще всего произвести вычисления по формуле Герона. Вначале необходимо получить полупериметр. Для этого получаем сумму значений сторон и делим ее пополам. Далее полупериметр подставляем в формулу: S=, где s – площадь, a, b, c – стороны, p – полупериметр.

Известны значения сторон равнобедренного треугольника

Это наиболее легкий случай, где можно применять различные формулы площади треугольника:

1. Разделить фигуру пополам, т.е. провести высоту от вершины до основания, получив прямоугольный треугольник. Нам изначально известен размер общего основания, а высота делит его пополам. Значит мы имеем гипотенузу и катет. Считаем высоту по теореме Пифагора, как во втором примере. Ну и в конце применяем: S=(a x b) / 2, где S – площадь, a и b – катеты.
2. Имея все стороны, можем воспользоваться формулой Герона, предварительно вычислив полупериметр: S=, где s – площадь, a, b, c – стороны, p – полупериметр.

Свойства треугольника

Вычислить неизвестные величины в треугольнике любого вида можно различными способами. Проще всего произвести расчет площади прямоугольного треугольника. При известных значениях катетов, достаточно их перемножить и поделить пополам. Когда один катет неизвестен, применяя теорему Пифагора, узнать значение второго очень просто.

В разносторонних треугольниках основаниями для расчета площади являются высота и основания, а также углы сторон. Формулы из школьной программы помогут в вычислениях. Чтобы не тратить время и силы, всегда можно посчитать площадь треугольника онлайн. Но эти знания всегда выручат в отсутствие Интернета.

Высота равнобедренного треугольника всегда является медианой, поэтому его всегда можно разделить на два прямоугольных треугольника.

Примеры вычисления площади треугольника

Чтобы посчитать площадь, достаточно воспользоваться формулой: умножить половину высоты на основание. Однако, ей не всегда удобно — оптимально применять другие формулы площадей треугольника, являющимися ее следствиями. Их можно запомнить и пользоваться ими для решения конкретных задач:

Пример 1

Дано: прямоугольный треугольник. Длина катетов: a=5см, b=6 см. Рассчитать площадь треугольника.

Решение: воспользуемся формулой S=a×b = 15 см

Пример 2

Дано: прямоугольный треугольник. Длина гипотенузы равна 13 см, длина катета b=12 см. Вычислить значение второго катета и сделать расчет площади треугольника.

Решение: для вычисления длины второго катета мы применяем формулу пифагора a²=c²–b², где a и b – катеты, c – гипотенуза. Возводим в квадрат значение гипотенузы 13²=169. Ту же операцию проводим с катетом 12²=144. Соответственно, a²=169-144=25. Извлекаем корень из 25: а=5см. Считаем площадь треугольника по предыдущей формуле: S=30 см

Пример 3

Условия задачи: имеется разносторонний треугольник с высотой h=4 см и основанием b=7 см. Требуется вычислить площадь треугольника. Решение: высота перпендикулярна основанию, т.е. она делит большую фигуру на два прямоугольных треугольника, которые нам надо дорисовать до прямоугольников.

Умножаем высоту (общий катет) на основание и делим пополам, согласно формуле S=(b x h) / 2 = (4×7) / 2 = 14 см².

Пример 4

Дано: разносторонний треугольник. Длины сторон: a=9 см, b=8 см. Стороны образуют угол c=30⁰. Задача: рассчитать площадь треугольника. Для этого примера оптимально применить формулу S= 1/2 a×b × sinc. По табличным значениям школьной программы известно, что синус 30⁰ = ½. В нашей задаче формула будет выглядеть следующим образом: S= 1/2 × 9 × 8 × 1/2 = 18 см2

Пример 5

Дано: разносторонний треугольник ABC. Длины сторон: a= 13 см, b=14см, c=.15см. Задача: рассчитать площадь треугольника. Вспоминаем формулу Герона: S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), где s – площадь, a, b, c – стороны, p – полупериметр. Вычисляем периметр треугольника, складывая длины сторон 13+14+15=42см. Значит полупериметр будет равен 42/2=21. Осталось подставить значения в исходную формулу: S=21(21-13)(21-14)(21-15)=21*8*7*6=7056 м²

Заключение

Мы разобрались с тем, как найти площадь треугольника, используя математические формулы. Каждая задача требует применения разных решений. Но каждый раз вспоминать школьную программу не всегда удобно. Целесообразность этих методов также под вопросом. Чаще всего требуется получить быстрый результат, не затрачивая время на лишние манипуляции.

Используя калькулятор площади треугольника, можно быстро получить необходимые параметры и не выполнять дополнительную работу. В любое время можно посчитать площадь треугольника онлайн. Для этого достаточно ввести имеющиеся параметры в соответствующие поля – система безошибочно произведет расчеты.