Калькулятор матриц

Вы изучаете высшую математику в вузе или техникуме? Вам нужна помощь в вычислениях по теме математических матриц, теории вероятностей? Воспользуйтесь таким удобным гаджетом, как онлайн калькулятор матриц. Он всегда доступен на нашем сайте бесплатно, поэтому вы не ошибетесь в расчетах и правильно выполните все задания, оптимально и эффективно рассчитаете нужные уравнения.

Что такое матрица в математике

Это один из ключевых объектов изучения в рамках высшей математики, обладающий прямым прикладным смыслом, на фоне абстрактной математики. Возможно, по этой причине тема матричных вычислений интересна многим студентам больше остальных. Это красивая теория и очень практические результаты расчетов, которые всегда могут пригодиться в жизни и в работе.

Нередко их характеризуют как «таблицы прямоугольной формы с данными», но этим характеристика не исчерпывается. Простой пример – телефонная книга с номерами абонентов и фамилиями, адресами. Это большая матрица, вид которой очень легко представить. Данные в ней взаимосвязаны по строчкам и столбцам.

Очевидно, что эти табличные данные используются повсеместно: в учебе и работе, в бухгалтерии, для составления отчетов и списков, в школьном журнале успеваемости. Число строчек и столбцов может быть разным, насчитывать они могут миллионы, например, тот же справочник «Желтые страницы», служебная таблица контактов и внутренних номеров. Личная записная книжка – тоже аналог этого явления.

В рамках таблицы можно делать умножение, проводить самые разные операции, чтобы решить любые задачи. Например, если в столбце указаны единицы продукции, в строчках – годы, то можно рассчитать суммарное количество выпущенного товара. Если посчитать аналогично данные с разных предприятий, будет готова статистика по конкретной отрасли. Можно таким же образом высчитать себестоимость продукта по разным годам. Удобный калькулятор матриц помогает упростить и ускорить все математические выкладки.

Как пользоваться калькулятором матриц

Принцип использования этого онлайн-сервиса очень удобен и прост. Освоить эту технологию сможет любой желающий, разобраться можно в пару кликов. Это действительно комфортный метод расчетов, потому что обычные цифровые и даже логарифмические калькуляторы инженерного типа не могут предложить опции по вычислению матричных данных.

Пошаговый принцип использования калькулятора матриц онлайн следующий:

1. Просмотрите варианты переключателей (галочка в квадрате) и выберите нужную таблицу – одну или несколько.
2. Введите размеры, используя выскакивающие окошки со списками (пустые окна со стрелками прокрутки).
3. Введите рабочие элементы. Если они равны 0, то заполнять графы не нужно.
4. Далее выберите в следующем выпадающем перечне нужную функцию, если нужно – дополнительные показатели.
5. Нажмите клавишу «Посчитать».
6. Появится результат исчислений по данной матрице. Если он не совпадает с прогнозом или чем-то не устраивает, можно поменять результат, версию его визуализации. Это могут быть правильные/неправильные дроби, десятичные). Можно уточнить желаемое число знаков за запятой.

Как видим, это простой, практичный и эффективный инструмент, экономящий массу времени и терпения студента. Важно иметь доступ к сети Интернет, тогда все операции будут происходить моментально.

Что умеет матричный калькулятор

Рабочий элемент в действиях с матрицами – дроби, правильные и десятичные, а также экспоненту. Причем длина числового значения вообще не имеет ограничений, можно ставить хоть десять тысяч знаков за запятой (хотя это может притормозить процесс расчета).

Доступны все варианты действий, как при бумажном вычислении:

1. Транспонирование;
2. Расчет определяющего элемента;
3. Вычисление ранга и следа;
4. Возведение в степень;
5. Расчет обратных матриц;
6. Умножение;
7. Приход к виду треугольника или ступеней;
8. Поиск корректного расклада LU;
9. Выполнение элементарных видоизменений, а также действий с выражениями, которые содержат матрицы.

В работе используются традиционно одна либо две матрицы, если нужно работать с двумя, то нужно переставить выключатель, активируя вторую. Данные таблиц А и В нужно вставлять с помощью клавиш, также можно перемещать данные из одной ячейки в другую методом перетаскивания. Удобно пользоваться стрелками для перемещения на таблице.

Некоторые теоретические сведения

В математических вычислениях неотъемлемый элемент работы – теоретические термины и определения. В отношении матричных вычислений важно понимать и применять ряд терминов, раскрывающие непрактические аспекты матричной математики.

Ниже приведены основные рабочие понятия, ими оперируют студенты, в том числе при использовании онлайн-калькулятора.

Траспонирование – математический расчет, в ходе него происходит рокировка строчек и столбиков в составе матричной таблицы (например: a^T_ij=a_ji).

Главная диагональ – в составе квадрата элемент, пересекающий углы с верху вниз и слева направо (a_ii).

Единичная матрица (E_n×n) – матричный квадрат, включающий n столбиков и n строчек, где на основной диагонали стоят 1, а вне пределов – 0.

Ранг – ограничение по максимуму на число линейных столбцов и строчек в конкретной матрице. Рабочая маркировка: rank(A).

След – совокупность знаков, расположенных на основной диагонали. Отмечается так: tr(A) либо track(A).

Умножение на число – аналогичная по размеру таблица, похожая на оригинальную, но каждый ее элемент будет результатом перемножения первичного аналога в первой версии на конкретную цифру.

Возведение в степень – приумножение таблицы на себя n раз, причем n – это степень, наращивающая первую матрицу: Aⁿ.

Обратная матрица (A⁻¹) – ее умножение на исходную версию А будет равняться схеме: A^-1×A=A×A^-1=E

Треугольновидная матрица – квадратичный вариант таблицы, где по разные стороны основной диагонали (в верхнетреугольной или нижнетреугольной) стоят 0.

Разложение типа LU – форма визуализации в качестве перемножения двух разных таблиц (L – нижнетреугольная с одной диагональю, U – верхнетреугольная). Тип обозначений: A=L·U.

Сложение матриц (A_n×m+B_n×m) – итоговая табличка C_n×m, полученная в результате суммирования соответствующих значений А и В. Каждый член в третьей матрице С будет равняться комбинации: с_ij=a_ij+b_ij.

Разность (A_n×m и B_n×m) – итоговая C_n×m достигается за счет парной разницы элементов А и В по соответствию, каждый член С будет равен: с_ij=a_ij-b_ij.

Произведение матриц (A_n×k и B_k×m) – полученная таблица C_n×m, где элемент (c_ij) тождественен сложению умноженных данных i-строчки А на аналогичные элементы j-столбца В. Вид: c_ij=a_i1·b_1j+a_i2·b_2j+ …+a_ik·b_kj.

Использование этих терминов отражает грамотность и подготовку студента в области высшей математики, облегчает операции по вычислению, понимание темы.

Умножение матриц

Выполнить решение матриц онлайн можно с любым математическим действием. Умножение выполняется в разных версиях:

1. С умножением на число;
2. С произведением вектора на матрицу и наоборот;
3. Взаимное умножение матриц.

Умножение является одним из четырех основных видов математических операций с матричными данными. Требуется строгое соответствие – зеркальное расположение данных в одной табличке и в другой, в противном случае не будет воспроизводиться результат на основе старых данных. Число столбцов в старом комплексе данных А должно дублировать число строчек в матрице В.

В данном случае наблюдаются алгебраические принципы умножения, обычно они свойственны простым числам. Исключительным эту процедуру вычисления делает коммутативность. Если речь идет о перемножении квадратных матриц, то возможна также и дополнительная опция – перевод таблицы в степень, а также “обратная матрица”.

Все матричные показатели применяются для описания какого-либо явления, тренда, статистического всплеска или динамики, то есть наблюдается преобразование математического пространства таблицы. Возникают такие явления, как поворот или отражение, данные растягиваются. Поэтому операцию с произведением матриц друг на друга можно назвать также композиционным преобразованием.

Сложение матриц

Если требуется сложить матрицы А и В и получить в итоге вариант С, где все элементы – это сложенные парно коррелирующие элементы исходных версий – выручит матричный калькулятор. Допустимо делать сложение только равноразмерных матриц, где есть одинаковое число строк и столбцов.

В математическом выражении сумма выглядит таким образом: А_m×n+B_m×n=C_m×n

Любая единица данных в составе итоговой матрицы тождественен сумме изначальных данных первых двух таблиц: c_ij = a_ij + b_ij.

Процесс сложения матричных данных отличается следующими свойствами:

1. Коммутативность: данная математическая закономерность устанавливает правило, по которому результат объединения двух таблиц не варьируется от места постановки каждой из них (от перестановки слагаемых сумма, как известно, не меняется). То есть: А+В=В+А.
2. Ассоциативность: закон сочетания, он основан на другой закономерности, при которой итог операции сложения не связан с порядком размещения скобок. Например: А+(В+С)=(А+В)+С.
3. Операция с «нулевой» матрицей в итоге сложения не приводит к изменению исходных данных. Для любой таблицы есть нейтральный объект, не влияющий на исход операции. Нулевой будет называться матричная таблица, все элементы в которой обладают нулевым значением. А+0=А.
4. Наличие противоположной по значению матричной системы для каждой части операции. Если существует ненулевая матрица А, для нее есть противоположная ей таблица -А. Их общая сумма составит нулевой вариант. А+(-А)=0

Вычитание матриц

Вычитание – еще одна опция, доступная для пользователей онлайн-калькулятора. С ней удобно провести вычитание равномерных элементов матриц А и В, но только для таблиц зеркального размера.

Вычитание нацелено на нахождение разницы показаний двух разных матриц, совпадающих по параметрам. Определить точность проделанной операции можно через обратное сложение или умножение на число.

Условие корректного выполнения операции – идентичность размеров таблиц. В виде рабочих элементов можно использовать как целые числа, так и дроби, выражения с использованием переменной. В ячейки таблиц можно вводить 2х, sinх и другие, более сложные сочетания.

Соответственно, в первую очередь требуется определение идентичности матриц, иначе провести операцию будет невозможно даже с использованием онлайн-калькулятора. По факту процедура вычитания элементы одной таблицы А отнимают часть элементов из второй таблицы В.

Пример: разность двух матриц А и В дает третий вариант С (С=А-В). Таблица С имеет те же размеры, что исходные варианты, она получается путем сложения А и В, умножением на -1. Вид разности может выглядеть таким образом: А–В=А+(-1)×В=А+(-В)=С_.

Операция вычитания – простое математическое действие, обратное сложению.

Деление матриц

Аналогичная опция выполняется методом подстановки данных из исходных таблиц А и В для получения результата деления в матрице С, равновеликой по всем параметрам своим исходникам.

На самом деле понятие деления в случае матриц всегда упоминается в кавычках, потому что «деление» тут условное. В учебниках такое явление не рассматривается. Матрицы нельзя поделить, в данном случае действие подменяется умножением одной таблицы на другую, которая обратная второй матрице.

Пример с использованием простых чисел: 10/5. Можно найти обратное число по отношению к 5: это 1/5, далее выполняем умножение вместо деления: 10х1/5. Интересно, что итог обеих операций будет одинаковым. По этой причине считают, что деление резонно заменить функцией умножения на обратную таблицу. На практике подобные вычислительные операции актуальны для решения линейных уравнительных.

В основном используют одно из свойств степеней: А/В=В^-1хА. В итоге задача о делении сводится к перемножению обратной таблицы В на первичную А. Важно, что обратный вариант есть только у невырожденной матрицы, то есть ее цифровой определитель не равен 0. Если матрица вырожденная, ее определитель = 0, то для нее не существует обратной версии.

Теперь в вашем распоряжении удобный и современный инструмент, с которым вы сможете решить матрицу онлайн быстро и точно. Успехов в изучении математики!