Умножение матриц
(3×3)
(3×3)
Удобный калькулятор произведения матриц поможет провести все необходимые расчеты с максимальной точностью. Что такое произведение матриц и как оно рассчитывается – разбирается ниже.
Определение
К категории основных матричных операций можно отнести умножение (произведение) между ними. В процессе выполнения таких расчетов на выходе получают новую матрицу, которая является произведением двух исходных таблиц. Все элементы, которые входят в состав старых табличных разделов, трансформируются в рамках установленных правил умножения. Ниже будут подробно рассмотрены теория и практика, примеры проведения вычислений с произведением разных типов матриц.
Определение процедуры умножения можно сформулировать следующим образом:
Матрицы А и В могут перемножаться, если они являются совместимыми, то есть имеют идентичное количество столбцов и строчек, количество столбцов должно соответствовать числу строк.
Свойства, которые демонстрируют таблицы в ходе перемножения, относятся к категории алгебраических, они свойственны также обычным математическим числам. Исключением тут будет свойство коммутации, этот признак здесь неактуален.
В силу того факта, что таблицы матричного типа требуются для описания различных математических преобразований в абстрактном пространстве (такие, как развороты и растяжка, отражение данных), то любое произведение, совершенное над двумя матрицами, является описанием композиционного преобразования.
Свойства произведения матриц
Операции по взаимному умножению табличных чисел позволяют выделить ряд специфических свойств этого процесса.
1. Сочетательность (ассоциативность). Данный аспект можно отразить в формуле:
А(ВС)=(АВ)С
Другой вариант: а(АВ)=(аА)В=А(аВ)
2. Распределяющее свойство (дистрибутивность, актуально при сложении):
А(В+С)=АВ+АС;
(А+В)С=АС+ВС
3. При умножении таблицы на матрицу Е (единичного типа) при ее отношении к подходящему порядку итог произведения будет равняться самой исходной матрице:
ЕА=А;
АЕ=А
4. При умножении таблицы на матрицу нулевого типа 0 соответствующей размерности итог произведения будет равен этой нулевой матрице:
0А=0;
А0=0.
5. Если в процедуре перемножения участвуют две квадратные матрицы с одинаковыми свойствами, то итоговое произведение может получить еще целый набор свойств. Умножение в случае общих таблиц не будет коммутативным:
АВ≠ВА
Но если они будут равны (АВ=ВА), то эти две таблицы станут считаться обоюдно коммутирующими.
Примеры таких взаимосвязанных матриц:
А) Любая квадратная таблица будет коммутировать сама с собой (АА=АА=А2), получается возведение ее в квадратную степень;
Б) Любая квадратная матрица будет коммутирующей с единичной разновидностью Е при ее отношении к аналогичному порядку (АЕ=ЕА=А);
В) Также будет коммутация любой квадратной таблицы и нулевой матрицей аналогичного типа (А0=0А=0);
Г) Любая матрица невырожденного типа коммутируется со своей обратной версией (АА-1=А-1А=Е).
6. Последнее свойство умножения: порядок умножения не влияет на такие явления, как «определитель» и «след» всего произведения:
det(AB)=det(BA)=detA*detB;
tr(AB)=tr(BA)
Проверить действие свойств поможет через умножение матриц онлайн калькулятор.
Классификация операций умножения матриц
Для перемножения табличных данных используют разные варианты процедур умножения:
- Умножение на число;
- Произведения вектора на матрицу и наоборот;
- Взаимное умножение двух матриц.
Данные операции выполняются через удобный умножение матриц калькулятор. Каждый аспект имеет свои особенности. Например, для операций с числами есть ряд специфических закономерностей, на которые стоит опираться в момент расчетов. Это феномен идентичной матрицы, нулевой, результат перемножения суммы матриц или суммы чисел, а также закон сочетаемости разных матриц, по аналогии со свойствами умножения.
Все они являются актуальными при умножении на вектор, где тоже есть свои нюансы.
Как умножить матрицу на число
Существуют определенные ограничения и правила, регламентирующие процедуру умножения матричных данных на целое простое число.
Итогом данного расчета будет некое число М, которое не может быть равно 0. Это новополученная матрица одинаковой основы, все ее элементарные части равняются произведению таких же элементов в составе исходной таблицы на это число М.
Пример:
В=М*А
Если опираться на общий закон умножения, то не имеет значения порядок соседних множителей:
М*А=А*М=В
Отсюда следует вывод: если имеется общий множитель для всех составляющих таблицы, то его вполне можно вынести за границы данной матрицы.
Здесь уместно вспомнить свойства, которые формируются при выполнении произведений матрицы и чисел:
1) При умножении таблиц на 1 или наоборот итогом будет идентичная матрица:
1*А=А*1=А
2) Итог умножения таблицы на 0 будет символ Θ (фита), где он означает «нулевую матрицу».
0*А=А*0= Θ
3) При перемножении числа на сумму нескольких матриц возникает идентичное явление, как сумма перемножений числа с каждой из этих матриц индивидуально.
M*(A+B)=mA+mB
4) При перемножении наоборот, суммы нескольких чисел и одной матрицы получают сумму произведений каждого из чисел и этой матрицы.
(m+ n)*A=mA+nA
5) Закон сочетания также актуален при умножении чисел и матриц:
(m*n)*A=m*(n*A)
Умножение матриц
Процедура перемножения двух таблиц выполняется исключительно при одном условии – совпадении количества столбцов в структуре первого множителя и аналогичного числа строчек в составе второго множителя. В этом случае можно сказать, что две матрицы являются согласованными между собой. Также перемножение выполнимо, если сомножители являются квадратными матрицами одного типа.
Можно сделать вывод, что наличие произведения АВ не является тождественным, на первый взгляд, аналогичному произведению ВА. Первое не обуславливает существование второго.
В данном случае необходимо вспомнить также операцию с обратной матрицей. Она является «невырожденной», «неособенной», при условии, что она располагает обратной самой себе – А-1.
При этом будет соблюдаться условие:
АА-1=А-1А=Е
В противоположном случае А будет особенной, то есть «вырожденной» таблицей.
Существуют разные алгоритмы моментального перемножения матриц разного масштаба. Они применяются в сложных космических и производственных расчетах:
1) Метод Штрассена. В его основе – рекурсивное разделение таблиц на блоки со сторонами 2 х 2. Эти матрицы можно взаимно умножить некоммутативным путем через семь процедур перемножения, а не восемь. Минус этого подхода – в повышенной сложности, на фоне стандартных вычислений. Но на основе алгоритма разработан спектр других, которые формируют большую устойчивость формулы.
2) Метод Пана – его сложность составляет концентрацию n2,78041.
3) Метод Бини – алгоритм под авторством большой группы исследователей под руководством Бини, они выработали расчет умножения таблиц с применением тензоров, сложность еще выше предыдущего.
4) Метод Шенхаге – скорость расчета составляет n2,695.
5) Подход Копперсмита-Винограда наследует метод Штрассена и сегодня является самым асимптотически быстрым. Актуален на матрицах с астрономически огромными параметрами.
Выполняйте умножение матриц с помощью удобного калькулятора, не забывая о корректном вводе данных.
Умножение матрицы на вектор
Если требуется совершить перемножение матриц с векторами, в этом случае делается взаимное умножение по принципу «строчка на столбик». Делая произведение матрицы на столбец из вектора, надо довести до идентичного положения числа строчек в векторном столбце. Ожидаемым результатом этой операции между матрицей и вектор-столбцом будет векторный столбец.
Пример: имеем матрицу А и два вектора Х и Y. Соответственно, функционируют хи х2, х, у,, уг, у как векторы.
Решение будет следующим:
Ах=(-1,-5,-7,-13).
уА=(2,1,-3)
Далее следует рассчитать координаты двух векторов: Ах и yА. Для этого делается следующий расчет:
- 1) А(х1+х2)=’Ах1+Ахг
- 2) А(Хх)*Х(Ах)
- 3) (у1+Уг)А=у,А+у2А
- 4) (Ху)А=Х(уА)
- 5) у(Ах)=(уА)х
Если проводится умножение матрицы на строку вектора, то сама по себе используемая таблицы может представлять из себя только вектор-столбец. Количество строчек в ней должно обязательно быть идентичным количеству столбцов в векторной строчек. В итоге будет получена квадратичная таблица соответствующих размеров:
Выполняйте качественное и точное умножение матриц онлайн в любое время на Calculators.by. Удобный формат калькулятора поможет всегда найти верное решение для любого, самого сложного уравнения.