Разложение чисел на множители
Важно полностью понимать данную тему. Недопонимание, как разложить число на простые множители может привести к множественным пробелам в познании математики. Вообще, для полного понимания темы не потребуется большого количества времени, достаточно всего лишь уделить немного своих минут жизни для изучения подобных статей. Сегодняшняя статья подробно расскажет про то, как разложить заданные числа на множители, для наилучшего понимания будут предоставлены примеры с подробным описанием решения.
Но есть способ узнать простые множители мгновенно и при этом не производя никаких вычислений. Имеется в виду онлайн калькулятор, который в кратчайшие сроки выполнит все необходимые действия. Сервис сделан с простым интерфейсом, который доступен для понимания каждому. Для получения правильного ответа достаточно просто ввести заданные задачей числа и нажать на соответствующую кнопку.
Что такое разложение числа на множители
Для начала стоит понять, что такое простых чисел. Пример: 36 имеет девять различных делителей. А именно: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36. А, например, у числа 17 только два различных делителя, а именно 1 и 17.
Выводим следующие определение, характеризующие простые числа: Простым числом, называется число, обладающее не более двумя разными делителями.
По примеру выше можно понять, что такое и составное число. В задачах, в которых выполняется нахождение множителей, раскладываются составные числа. А составным числом, называется число, обладающее более двумя делителями.
Определение простого и составного числа следует знать, ведь иногда встречаются задачи, где требуется из ряда чисел выписать отдельно по группам простые и составные числа. Возьмем в пример следующую задачу:
Из ряда чисел выписать простые и составные числа: 3, 27, 15, 11, 22, 13, 7, 75, 10, 5, 14, 8. К ряду простых будут относиться следующие числа: 3, 11, 13, 7, 5. Все эти числа имеют только двум множителями, а именно единица и само число. В группу составных чисел входят: 27, 15, 22, 75, 10, 14, 8. Уже эти числа обладают несколькими множителями.
Стоит запомнить, что число 1 является исключением и оно не относится ни к одной группе.
Также, стоит знать, что 2 – наименьшее простое число. Это единственное четное простое число, остальные числа нечетные.
На самом деле простых невероятно много, это утвердил ученый, занимающиеся математикой из Древней Греции – Евклид.
Как разложить число на множители
Задание №1
Вычислим множители 21. Первым делом 21 кратно 3, в результате 7. 7 делим на 7, в результате получаем единицу. Чтобы сделать разложение составного числа на множители, требуется провести несколько делений до момента, когда не получится единица.
По итогу первой задачи у 21 вывели следующие множители:
- 3;
- 7.
Задача №2
На вторую задачу возьмем более сложное число, а именно 180. По признакам делимости мы можем сейчас записать все числа, на которые делится 180. 180 делится: на 2, на 5, на 10. Давайте теперь воспользуемся признаками делимости на 3. 1, 8 и 0 из числа 180 складываем, получаем 9, значит число делится на 3. Добавляем тройку к списку простых множителей 180. К тому же 180 разделится и на 9. Вносим 9 в этот же список.
У нас получился ряд кратных 180-ти. Но, в этом ряду есть две составные, а именно 10 и 9. Они сами в свою очередь кратным простым числам. Два и пять кратны 10. 3 кратно 9.
Разложим 180 по привычной всем схеме. Поделим 180 на двойку, получаем 90. 90 также делим на два, в результате 45. 45 на 2 уже не разделишь. 45 разделим на три, получаем 15. Тройка тоже кратная 15, в результате 5. 5 разделим на себя же, получаем единицу.
Результат:
- 2;
- 2;
- 3;
- 3;
- 5.
Задание №3
Для третьего примера возьмем 160. По такому же алгоритму делим 160 на 2, в ответе получаем 80. 80 снова делим на 2, в результате 40. Опять же делим на 2, в ответе 20. 20 также делим на 2, получаем 10, 10 делим на 2, в ответе 5. 5 делим на себя, получаем конечную единицу.
В итоге у 160 следующие простые множители:
- 2;
- 2;
- 2;
- 2;
- 2;
- 5.
Задание №4
Возьмем 280. 280 разделится на 2, в ответе записываем 140. 140 на двойку, получаем в ответе 70. И опять же разделим 2, в ответе 35. Воспользуемся таблицей умножения, 35 делится на 7, в ответе получаем 5. 5 кратно себе же, получаем в конечную единицу.
Получили следующие множители:
- 2;
- 2;
- 2;
- 7;
- 5.
Задание №5
В заключительной 5-ом задании, выполним разложение 648. 648 с легкостью делится на 2, в ответе получаем 324. 324 делим на 2, в ответе 162. 162 на 2, в ответе получаем 81. 81 делится на 9, в ответе 9. 9 разделим на три, в результате 3. 3 кратно себе же, в ответе получаем единицу.
Получаем следующие числа:
- 2;
- 2;
- 2;
- 9;
- 3;
- 3.
Метод канонического разложения
При вычислении множителей с помощью канонического разложения применяется работы со степенями. То есть одинаковые множители объединяются и им присваивается определенная степень.
Обычно метод канонического разложения применяется, когда раскладывается большое число. Степени обычно записываются в порядке увеличения, например, 22 * 53 * 7. Для наилучшего понимания темы – разберем несколько примеров, где применяется метод канонического разложения.
Пример №1
Воспользуемся методом канонического разложения число 3780. Число 3780 делится на 2, в ответе получаем 1890. 1890 также делится на 2, получается 945. Видно, что 945 делится на 5, поэтому так и сделаем и в ответе получим 189. Чтобы узнать следующий простой множитель, сложим 1, 8 и 9, в ответе получим 18, 18 делится на 3, поэтому 189 разделим на 3, в ответе получаем 63. 63 еще раз дели на 3, в ответе 21. 21 делится на 3, получаем 7. 7 на 7 простое число, делим его самого на себя, в ответе получаем конечную единицу
По ходу задачи у нас получились следующие простые множители:
- 2;
- 2;
- 5;
- 3;
- 3;
- 3;
- 7.
Запишем конечный результат: 3780 = 22 * 33 * 5 * 7.
Пример №2
Разберем следующий пример, возьмем 7056. Сразу видим, что 7056 делится на 2, получаем 3528. Еще делим на 2, в ответе 1764. Снова разделим на 2, получается 882. 882 делится на 2, в ответе 441. Складываем 4, 4, 1, получаем 9, понимаем, что число делится на 3, в ответе получаем 147. 147 делится на 3, получается 49. 49 разделим на 7, 7 делится само на себя, в ответе 1.
По итогу число 7056 имеет следующие простые множители:
- 2;
- 2;
- 2;
- 2;
- 3;
- 3;
- 7;
- 7.
Запишем конечный ответ: 7056 = 24 * 32 * 72.
Пример №3
Далее в качестве примера возьмем 360. Число довольно небольшое, но к нему тоже можно применить метод канонического разложения. 360 оканчивается на 0, поэтому разделим на 2, в ответе получим 180. 180 разделится на 2, получаем 90. 90 также легко разделится на 2, в ответе получаем 45. 45 с легкостью разделится на 5, получаем 9. 9 делим на 3, в ответе 3. 3 делится само на себя, получаем конечную единицу.
По ходу решения задачи получились следующие примеры:
- 2;
- 2;
- 5;
- 3;
- 3.
После проведения решения получаем следующий ответ: 360 = 22 * 32 * 5.
Пример №4
Далее возьмем 1400. У числа 1400 в конце 0 – разделим на 2, в ответе 700. 700 разделится на 2, получаем 350. 350 делится на 2, в ответе 175. 175 оканчивается на 5, поэтому разделим число на 5, в ответе получаем 35. 35, как и 175, делим на 5, в ответе 7. 7 – простое число, делим его само на себя, получаем 1.
По ходу решения задачи выяснили простые множители:
- 2;
- 2;
- 2;
- 5;
- 5;
- 7.
Конечный ответ будет следующим: 1400 = 23 * 52 * 7.
Пример №5
Для заключительного примера по данной микротеме, возьмем число 3276. Действуем по алгоритму. 3276 делится на 2, в ответе получаем 1638. Снова делим на 2 число 1638, в ответе получаем 819. 819 делится на 3, ответ будет равен 273, 273 также делим на 3, в результате получаем 91. 91 уже разделится на 7 в ответе получим 13. 13 делится только на единицу и само на себя, так и сделаем.
Получаем следующие множители:
- 2;
- 2;
- 3;
- 3;
- 7;
- 13.
Ответ: 3276 = 22 * 32 * 7 * 13.
Признаки делимости при разложении на простые множители
Для начала стоит поговорить, а что такое вообще признаки делимости чисел. Это то, с помощью чего можно узнать, не выполняя самого деления, делится ли число m на n без остатка. Или по-другому говоря: кратно ли число m числу n. Математическим языком это правила записывается в следующие выражение: m ⁝ n? Три точки вертикально обозначают кратность.
Давайте перечислим наиболее популярные признаки делимости:
- Первым будет признак делимости на 2. Число кратно двум, если оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
- Вторым назовем признак делимости на 5. Число делится на 5, если в конце у числа стоит 0 или 5.
- Третий признак делимости будет для числа 10. Число разделится на 10, если оканчивается на 0.
- Также существует признак делимости на 3, о нем выше уже говорилось. Число кратном трем, если сумма его цифр делится на 3.
- Есть и признак делимости на 9. Число разделится на 9, если сумма его чисел кратна 9.
- Число кратно 7,если результат вычитания удвоенной последней цифры этого числа без последней цифры кратен 7.
- Число делится на 25, если в конце стоит: 00, 25, 50 или 75.
- Число делится на 11, если сумма его цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на 11.
- Число делится на 13, если число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно 13.
- Число разделится на 15, если заканчивается на 0 или 5, а сумма цифр кратна 3.
На самом деле подобных признаков можно сформулировать сколько угодно, практически для любого числа. Но для выполнения большинства школьных заданий, да и не только школьных, более чем достаточно первых 5 признаков, которые уже были перечислены. Но довольно часто встречается обычно в каких-либо олимпиадных заданиях признак делимости на 11. Поэтому всего рекомендуется запомнить 6 признаков делимости чисел.
Пять же наиболее важных признаков делимости можно поделить на 2 группы. Первая группа из первых трех признаков объединяет то, что она связана с тем на что оканчивается заданная цифра.
Другие 2 признака объединяет то, что нам сначала нужно сложить цифры заданного числа, а затем посмотреть, кратно ли оно трем. Все это мы можем сделать, как правило, при помощи таблицы умножения. Т.К. выполняя сложение, цифры даже больших чисел, скорее всего мы не получим больше, чем 27. Даже и если и получится число больше 27, то у этого числа тоже можно сложить цифры, то тогда мы уже точно получим меньше чем 27.